SISTEM BILANGAN REAL.

-
 


• Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

• Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :


  * Sifat-sifat aljabar


  * Sifat-sifat urutan


  * Sifat-sifat kelengkapan



BILANGAN REAL
  • Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dna himpunan bilangan irrasional.
  • Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x =   , p dan qÎ Z, dengan q ¹0}
                contoh : 1/3 , -4/9 , 57/1
  • Himpunan-himpunan berikut ada didalam himpunan bilangan rasional :
               * Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}
               * Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}
  • Himpunan bilangan irasional,
                 iR  = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/q }
                 contoh : p, e, log 5 
  • Teorema :
             “Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional”
  • Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir   atau berulang dengan pola yang sama :
              contohnya :  3/8 = 0.375, atau 0.3750000000….
                                  13/11 =1.1818181818…
  • Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal   berulang dan sebaliknya
             contohnya : x = 0.136136136….
                                 y = 0.271271271…..
             Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional
  •  Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan   sebaliknya. 
                contohnya : 0.101001000100001….


GARIS BILANGAN REAL


§Bilangan real dinyatakan dengan notasi R.



§Bilangan - bilangan real dapat dipandang sebagai titik sepanjang sebuah garis garis 
        Bidang Bilangan Kompleks
               Bilangan komplek, z = a + bi, dalam bentuk geometri bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk bidang kompleks
        Sifat - sifat aljabar bilangan real
        Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.
contoh:
   2 + 5⅛ = 7⅛
   5-0,4 = 4,6
   4 x ¾= 1
   3 : 4 = ¾

sifat urutan bilangan real
•Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.
  contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0
•Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b,  jika b – a positif
  contoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0
Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku sifat urutan berikut:
  • a < b Þ a + c < b + c
  • a < b Þ a - c < b – c
  • a < b, c > 0 Þ ac < bc
  • a < b, c < 0 Þ ac > bc

  • a > 0 Þ 1/a > 0
  • Jika a dan b bertanda sama maka a < b Þ 1/b < 1/a
Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya



Interval bilangan real

       
Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Untuk setiap x, a, b, c Î R,
1.[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup
2.[a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup atau terbuka
3.(a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka atau tertutup
4.(a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka


Interval tak hingga
         
•(–∞, b] = {x | x ≤ b}
•(–∞, b) = {x | x < b}
•(a, ∞] = {x | x ≥ a}
•(a, ∞) = {x | x > a}
•(–∞, ∞] = {x | x Î R}


Pertidaksamaan Interval

§Persamaan (x2 + 2x – 8 = 0) solusinya adalah sebuah titik di dalam garis bilangan R (x1 = –4, x2 = 2)
§Pertidaksamaan (x2 + 2x – 8 ≤ 0) solusinya adalah sebuah interval tertutup, interval terbuka atau kombinasi, (HP = {x:–4 ≤ x ≤2})
§Interval adalah himpunan dari R yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu
§Interval terdiri interval terbuka, tertutup atau kombinasi dari keduanya. Interval disajikan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilangan    


Contoh
Tentukan HP dari :
x3 -2x2 – 11x + 12 ≤ 0
Solusi :
- -0 + + + 0 - - - - 0 + + +
─┼────┼────┼───> R
 –3           1           4
HP = {x: x ≤ –3 V 1 ≤ x ≤ 4}
Pertidaksamaan Pecahan

1. Contoh : Hitunglah HP dari,

                                                 x - 2


                                               ---------   ≤ 0
                                                3x + 9

    Jawab : 
          Batas interval pertidaksamaan adalah x1=2, dan x2¹–3. Perhatikanlah garis bilangan berikut :
                - - - - - - - - - 0+ + +
(x – 2)     -----+-----------+-----à
                    –3            2
              - - - 0 + + + + + + +
(3x+9)     -----+----------+------à
                   –3            2 
              + + 0  - - - - - -0++ +
HP           -----+-----------+-----à
                   –3             2
Jadi HP pertidaksamaan, –3 < x £ 2  


2. Contoh :  Hitunglah HP dari, |2x – 5| < 9


    Jawab : Menurut definisi,

  |2x – 5| < 9 Û –9 < 2x – 5 < 9

                     Û –9+5 < 2x < 9+5
                    Û –4 < 2x < 14
Jadi, HP : –2 < x < 7


3. Contoh : Hitunglah HP dari, |2x + 3| > 11
    Jawab  : Menurut definisi,
|2x + 3|>11 Û 2x+3< –11 v 2x+3>11
                    Û 2x<–11–3 v 2x >11–3
                   Û 2x < –14  v 2x < 8
Jadi, HP : x < –7 v  x < 4

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

BASIS RUANG DENGAN BARIS, BASIS RUANG DENGAN KOLOM, RANK, NULITAS

-
Gambar
DIMENSI  Definisi: Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga { v 1, v 2,… v n} yang membentuk suatu basis. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga TEOREMA: jika V adalah adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan { v 1, v 2,… v n} adalah sembarang basis, maka: Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V. TEOREMA:   Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama   Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol. Contoh Menentukan basis dan dimensi ruang solusi dari SPL homogen penyelesaian Kita dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk sebagai beri
Baca selengkapnya

LIMIT FUNGSI TAK HINGGA

-
Gambar
 Pengertian limit fungsi tak hingga           Pengertian limit fungsi di tak hingga adalah sebagai berikut :  a.  Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk x yang terus membesar menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit L untuk x mendekati ∞ dan ditulis L xf  )(lim x = ∞→  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan L).   b.  Jika nilai suatu fungsi f terus membesar untuk x  menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→  )(lim x xf  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞).   c.  Jika nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk x  menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ − untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→ -  )(lim x xf  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞ − ). Rumus Cepat menyelesaikan limit tak terhingga Rumus cepat mengerjakan limit tak terhingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak terhingga pada bentuk pecahan. Untuk memperoleh nila
Baca selengkapnya

KONTINUITAS

-
Gambar
kontinuitas       Kontinuitas adalah kesinambungan. Lawan dari kontinuitas adalah diskontinuitas yaitu tidak kesinambungan. Kontinuitas suatu fungsi kurang lebih sama artinya dengan kesinambungan suatu fungsi. f ( x ) f ( x ) kontinu di x = a x = a jika lim x → a + f ( x ) = lim x → a − f ( x ) = f ( a ) lim x → a + f ( x ) = lim x → a - f x = f ( a ) Keterangan : x → a + x → a + artinya x x mendekati a a dari kanan x → a − x → a - artinya x x mendekati a a dari kiri Tidak kontinu sama artinya dengan diskontinu Syarat kontinuitas suatu fungsi       fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila : Note :  a -  a + ,tanda + dan - hanya menunjukkan arah        contoh soal : 
Baca selengkapnya