SISTEM BILANGAN REAL.

 

• Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan real.

• Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi :

  * Sifat-sifat aljabar

  * Sifat-sifat urutan

  * Sifat-sifat kelengkapan

BILANGAN REAL

• Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dna himpunan bilangan irrasional.

• Himpunan bilangan rasional, Q = {x|x =   , p dan qÎ Z, dengan q ¹0}

                contoh : 1/3 , -4/9 , 57/1

• Himpunan-himpunan berikut ada didalam himpunan bilangan rasional :

               * Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}

               * Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}

• Himpunan bilangan irasional,

                 iR  = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/q }

                 contoh : p, e, log 5 

• Teorema :

             “Jumlah bilangan rasional dan irrasional adalah irrasional”

• Representasi desimal bilangan rasional adalah berakhir   atau berulang dengan pola yang sama :

              contohnya :  3/8 = 0.375, atau 0.3750000000….

                                  13/11 =1.1818181818…

• Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal   berulang dan sebaliknya

             contohnya : x = 0.136136136….

                                 y = 0.271271271…..

             Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional

•  Representasi bilangan irrasional tidak berulang dan   sebaliknya. 

                contohnya : 0.101001000100001….

GARIS BILANGAN REAL

§Bilangan real dinyatakan dengan notasi R.

§Bilangan - bilangan real dapat dipandang sebagai titik sepanjang sebuah garis garis 

        Bidang Bilangan Kompleks

               Bilangan komplek, z = a + bi, dalam bentuk geometri bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk bidang kompleks

        Sifat - sifat aljabar bilangan real

        Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.

contoh:

   2 + 5⅛ = 7⅛

   5-0,4 = 4,6

   4 x ¾= 1

   3 : 4 = ¾

sifat urutan bilangan real

•Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih besar dari 0, ditulis a > 0.

  contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0

•Bilangan real a lebih kecil dari b, ditulis a < b,  jika b – a positif

  contoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0

Untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku sifat urutan berikut:

• a < b Þ a + c < b + c
• a < b Þ a - c < b – c
• a < b, c > 0 Þ ac < bc
• a < b, c < 0 Þ ac > bc

• a > 0 Þ 1/a > 0
• Jika a dan b bertanda sama maka a < b Þ 1/b < 1/a

Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya

Interval bilangan real

       

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Untuk setiap x, a, b, c Î R,

1.[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup

2.[a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup atau terbuka

3.(a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka atau tertutup

4.(a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka

Interval tak hingga
         

•(–∞, b] = {x | x ≤ b}

•(–∞, b) = {x | x < b}

•(a, ∞] = {x | x ≥ a}

•(a, ∞) = {x | x > a}

•(–∞, ∞] = {x | x Î R}

Pertidaksamaan Interval

§Persamaan (x2 + 2x – 8 = 0) solusinya adalah sebuah titik di dalam garis bilangan R (x1 = –4, x2 = 2)

§Pertidaksamaan (x2 + 2x – 8 ≤ 0) solusinya adalah sebuah interval tertutup, interval terbuka atau kombinasi, (HP = {x:–4 ≤ x ≤2})

§Interval adalah himpunan dari R yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu

§Interval terdiri interval terbuka, tertutup atau kombinasi dari keduanya. Interval disajikan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilangan    

Contoh

Tentukan HP dari :

x3 -2x2 – 11x + 12 ≤ 0

Solusi :

- -0 + + + 0 - - - - 0 + + +

─┼────┼────┼───> R

 –3           1           4

HP = {x: x ≤ –3 V 1 ≤ x ≤ 4}

Pertidaksamaan Pecahan

1. Contoh : Hitunglah HP dari,

                                                 x - 2

                                               ---------   ≤ 0

                                                3x + 9

    Jawab : 

          Batas interval pertidaksamaan adalah x1=2, dan x2¹–3. Perhatikanlah garis bilangan berikut :

                - - - - - - - - - 0+ + +

(x – 2)     -----+-----------+-----à

                    –3            2

              - - - 0 + + + + + + +

(3x+9)     -----+----------+------à

                   –3            2 

              + + 0  - - - - - -0++ +

HP           -----+-----------+-----à

                   –3             2

Jadi HP pertidaksamaan, –3 < x £ 2  

2. Contoh :  Hitunglah HP dari, |2x – 5| < 9

    Jawab : Menurut definisi,

  |2x – 5| < 9 Û –9 < 2x – 5 < 9

                     Û –9+5 < 2x < 9+5

                    Û –4 < 2x < 14

Jadi, HP : –2 < x < 7

3. Contoh : Hitunglah HP dari, |2x + 3| > 11

    Jawab  : Menurut definisi,

|2x + 3|>11 Û 2x+3< –11 v 2x+3>11

                    Û 2x<–11–3 v 2x >11–3

                   Û 2x < –14  v 2x < 8

Jadi, HP : x < –7 v  x < 4