BASIS RUANG DENGAN BARIS, BASIS RUANG DENGAN KOLOM, RANK, NULITAS

• DIMENSI 

Definisi:

Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga {v1,v2,…vn} yang membentuk suatu basis. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga

TEOREMA:

jika V adalah adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v1,v2,…vn} adalah sembarang basis, maka:

• Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear
• Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V.

TEOREMA:

•   Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama
•   Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol.

Contoh

Menentukan basis dan dimensi ruang solusi dari SPL homogen

penyelesaian

Kita dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk sebagai berikut

⇒  

⇒  

jadinya

membentuk ruang solusi SPL yaitu

yang menunjukkan bahwa vektor vektor merentang ruang solusi tersebut. Karena v1 dan v2 tidak saling berkelipatan satusama lain maka kedua vektor ini saling bebas bebas linear.Jadi (v1,v2) adalah basis bagi ruang solusi SPL yang dimaksud yang berdimensi 2.

 RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM

• Jika A adalah  matriks mxn maka subruang yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A.

TEOREMA

• Jika suatu matriks U berada dalam bentuk baris eselon maka vektor-vektor baris dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris U dan vektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari U.

misalkan matriks :

dengan melakukan OBE diperoleh

→ perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :

basis ruang baris diperoleh dengan cara,Mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada ,sehingga diperoleh :

⇒

Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

Defnisi RANK dan NULITAS

Dimensi dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A  disebut rank dari A dan dinyatakan sebagai rank(A). Dimensi dari ruang nul dari A disebut sebagai nulitas dari A

dan dinyatakan sebagai nulitas(A).

Tentukan rank dan nulitas dari matriks berikut ini:

Penyelesaian:

dengan melakukan OBE diperoleh

⇒

karena terdapat 3 baris tak nol (atau secara ekuivalen, 3 satu utama),ruang baris dan ruang kolom keduanya berdimensi 3 sehingga rank dari (A)=3. Untuk menentukan nutulitas dari A,maka kita harus menentukan dimensi dari ruang solusi linier Ax=0. Sistem persamaan yang bersesuaian adalah

Kedua vektor tersebut membentuk basis untuk ruang solusi, sehingga nulitas(A) = 4.