RUANG VEKTOR,KEBEBASAN LINIER DAN RUANG BAGIAN

-
RUANG-RUANG VEKTOR
3.1 RUANG n EUCLIDES
Definisi 3.1 :
Jika n adalah bilangan bulat positif maka tupel n terorde adalah sebuah urutan bilangan
real. (a1, a2, a3,…….., an)
Himpunan tapel n terorde dinamakan ruang n dan dinyatakan dengan Rn. Tupel n terorde (a1, a2, a3, ……….,an) dapat dipandang sebagai :
  1. Titik dalam satu ruang Rn
  2. Vektor yang di generalisasi
Contoh 3.1 :
Dalam R3, P (x1, x2, x3) dinyatakan sebagai titik dan sebagai vektor
Definisi 3.2 :
Dua Vektor u = ( u1, u2, u3, …….., un) dan v = ( v1, v2, v3, …….,vn) pada Rn
dikatakan :
1. Sama jika u1 = v1, u2 = v2, …………, un = vn
2. Merupakan jumlahan : u + v = (u1 + v1, u2 + v2, ………, un + vn)
3. Merupakan perkalian scalar ku = (ku1, ku2, ku3, ………, kun)
4. Invers penjumlahan –u = (-u1, -u2, -u3, ……..,-un)
5. Vektor nol , 0 = ( 0, 0, 0, …………,0)
Theorema 3.1 :
Jika u = (u1, u2, u3, …………,un)
v = (v1, v2, v3, …………,vn)
w = (w1, w2, w3, ……….,wn)
adalah vector-vektor dalam Rn dan k serta l scalar-skalar maka :
1. u + v = v + u
2. u + (v + w) = (u + v) + w
3. u + 0 = 0 + u = u
4. u + (-u) = 0
5. k (l u) = (kl) u
6. k ( u + v) = ku + kv
7. (k + l ) u = ku + lu
8. iu = u
Definisi 3.3 :
Jika u = (u1, u2, u3, …………,un)
v = (v1, v2, v3, …………,vn)
adalah sembarang vector pada Rn maka hasil kali dalam Euclides (euclidean inner
product) : u.v didefinisikan sebagai berikut :
u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + …………….+ unvn
Theorema 3.2 :
Jika u, v, w adalah vector-vektor pada Rn dan k sembarang scalar, maka :
1. u . v = v . u
2. (u + v).w = uw + vw
3. (ku).w = k (uw)
4. u.u >= 0
5. u.u = 0, bhb u = 0
Definisi 3.4 :
Jika u = (u1, u2, u3, …………,un) dan v = (v1, v2, v3, …………,vn) pada Rn maka :
1. Norma (panjang) Euclidis vector u adalah
2. Jarak Euclidis titik u dan v adalah
Contoh 3.2 :
Jika u = (2, 0, -1, 3) ; v = (5, 4, 7, -1) ; w = (6, 2, 0, 9)
Tentukan : a). v – (u+w)
b). x sehingga 2u – v + x = 7x + w
J a w a b :
a). v – (u+v) = ( 5, 4, 7, -1) - {(2, 0, -1, 3) + (6, 2, 0, 9)}
= (5, 4, 7, -1 ) – (8, 2, -1, 12)
= (-3, 2, 8, 12)
b). x sehingga, 2u – v + x = 7x + w
2u – v + x = 7x + w
2(2, 0, -1, 3) – (5, 4, 7, -1, 3) + x = 7x + (6, 2, 0, 9)
(4, 0, -2, 6) – (5, 4, 7,-1) = 6x + (6, 2, 0, 9)
(-1, -4, -9, 7) – (6, 2, 0, 9) = 6x
(-7, -6, -9, -2) = 6x
Contoh 3.4 :
Carilah hasil kali dalam Euclidis u.v bila : a). u = ( 3, 7, 1) ; v = ( -1, 0, 2)
b). u = (1, -1, 2, 3) ; v = ( 3, 3, -6, 0)
J a w a b :
a). u.v = (3, 7, 1).(-1, 0, 2)
= (3.-1 + 7.0 + 1.2)
= -3 + 0 + 2
= -1
b). u.v = (1, -1, 2, 3)(3, 3, -6, 4)
= (1.3 + (-1).3 + 2.-6 + 3.4)
= 3 – 3 – 12 + 12
= 0
Contoh 3.6 :
Carilah dua vector pada R2 dengan norma Euclidis 1 yang hasil kali dalam Euclidisnya
(-2,4) sama dengan 0 (nol).
J a w a b :
Misal : u = (u1, u2) , v = (v1, v2) dan w = (-2, 4) , maka
Dari, u.w = 0
(u1, u2) . (-2, 4) = 0
-2u1 + 4u2 = 0 ……………(3)
Dari, v.w = 0
(v1, v2) . (-2,4) = 0
(-2v1 + 4v2) = 0 …………….(4)
Dari persamaan (3) : -2u1 + 4u2 = 0 à u2 = 2/4 u1 atau u1 = 2u2 ………….(5)
Dari persamaan (4) : -2v1 + 4v2 = 0 à v2 = 2/4 v1 atau v1 = 2v2 …………(6)
Jika persamaan (5) masuk ke persamaan (1) :
Karena u1 = v1 dan u2 = v2

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

BASIS RUANG DENGAN BARIS, BASIS RUANG DENGAN KOLOM, RANK, NULITAS

-
Gambar
DIMENSI  Definisi: Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga { v 1, v 2,… v n} yang membentuk suatu basis. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga TEOREMA: jika V adalah adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan { v 1, v 2,… v n} adalah sembarang basis, maka: Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V. TEOREMA:   Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama   Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol. Contoh Menentukan basis dan dimensi ruang solusi dari SPL homogen penyelesaian Kita dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk sebagai beri
Baca selengkapnya

LIMIT FUNGSI TAK HINGGA

-
Gambar
 Pengertian limit fungsi tak hingga           Pengertian limit fungsi di tak hingga adalah sebagai berikut :  a.  Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk x yang terus membesar menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit L untuk x mendekati ∞ dan ditulis L xf  )(lim x = ∞→  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan L).   b.  Jika nilai suatu fungsi f terus membesar untuk x  menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→  )(lim x xf  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞).   c.  Jika nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk x  menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ − untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→ -  )(lim x xf  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞ − ). Rumus Cepat menyelesaikan limit tak terhingga Rumus cepat mengerjakan limit tak terhingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak terhingga pada bentuk pecahan. Untuk memperoleh nila
Baca selengkapnya

KONTINUITAS

-
Gambar
kontinuitas       Kontinuitas adalah kesinambungan. Lawan dari kontinuitas adalah diskontinuitas yaitu tidak kesinambungan. Kontinuitas suatu fungsi kurang lebih sama artinya dengan kesinambungan suatu fungsi. f ( x ) f ( x ) kontinu di x = a x = a jika lim x → a + f ( x ) = lim x → a − f ( x ) = f ( a ) lim x → a + f ( x ) = lim x → a - f x = f ( a ) Keterangan : x → a + x → a + artinya x x mendekati a a dari kanan x → a − x → a - artinya x x mendekati a a dari kiri Tidak kontinu sama artinya dengan diskontinu Syarat kontinuitas suatu fungsi       fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila : Note :  a -  a + ,tanda + dan - hanya menunjukkan arah        contoh soal : 
Baca selengkapnya