RUANG VEKTOR,KEBEBASAN LINIER DAN RUANG BAGIAN

RUANG-RUANG VEKTOR

3.1 RUANG n EUCLIDES

Definisi 3.1 :

Jika n adalah bilangan bulat positif maka tupel n terorde adalah sebuah urutan bilangan

real. (a₁, a₂, a_3,…….., a_n)

Himpunan tapel n terorde dinamakan ruang n dan dinyatakan dengan Rⁿ. Tupel n terorde (a₁, a₂, a₃, ……….,a_n) dapat dipandang sebagai :

1. Titik dalam satu ruang Rⁿ
2. Vektor yang di generalisasi

Contoh 3.1 :

Dalam R³, P (x₁, x₂, x₃) dinyatakan sebagai titik dan sebagai vektor

Definisi 3.2 :

Dua Vektor u = ( u₁, u₂, u₃, …….., u_n) dan v = ( v₁, v₂, v₃, …….,v_n) pada Rⁿ

dikatakan :

1. Sama jika u₁ = v₁, u₂ = v_2, …………, u_n = v_n

2. Merupakan jumlahan : u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, ………, u_n + v_n)

3. Merupakan perkalian scalar ku = (ku₁, ku₂, ku₃, ………, ku_n)

4. Invers penjumlahan –u = (-u₁, -u₂, -u₃, ……..,-u_n)

5. Vektor nol , 0 = ( 0, 0, 0, …………,0)

Theorema 3.1 :

Jika u = (u₁, u₂, u₃, …………,u_n)

v = (v₁, v₂, v₃, …………,v_n)

w = (w₁, w₂, w₃, ……….,w_n)

adalah vector-vektor dalam Rⁿ dan k serta l scalar-skalar maka :

1. u + v = v + u

2. u + (v + w) = (u + v) + w

3. u + 0 = 0 + u = u

4. u + (-u) = 0

5. k (l u) = (kl) u

6. k ( u + v) = ku + kv

7. (k + l ) u = ku + lu

8. iu = u

Definisi 3.3 :

Jika u = (u₁, u₂, u₃, …………,u_n)

v = (v₁, v₂, v₃, …………,v_n)

adalah sembarang vector pada Rⁿ maka hasil kali dalam Euclides (euclidean inner

product) : u.v didefinisikan sebagai berikut :

u.v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ + …………….+ u_nv_n

Theorema 3.2 :

Jika u, v, w adalah vector-vektor pada Rⁿ dan k sembarang scalar, maka :

1. u . v = v . u

2. (u + v).w = uw + vw

3. (ku).w = k (uw)

4. u.u >= 0

5. u.u = 0, bhb u = 0

Definisi 3.4 :

Jika u = (u₁, u₂, u₃, …………,u_n) dan v = (v₁, v₂, v₃, …………,v_n) pada Rⁿ maka :

1. Norma (panjang) Euclidis vector u adalah

2. Jarak Euclidis titik u dan v adalah

Contoh 3.2 :

Jika u = (2, 0, -1, 3) ; v = (5, 4, 7, -1) ; w = (6, 2, 0, 9)

Tentukan : a). v – (u+w)

b). x sehingga 2u – v + x = 7x + w

J a w a b :

a). v – (u+v) = ( 5, 4, 7, -1) - {(2, 0, -1, 3) + (6, 2, 0, 9)}

= (5, 4, 7, -1 ) – (8, 2, -1, 12)

= (-3, 2, 8, 12)

b). x sehingga, 2u – v + x = 7x + w

2u – v + x = 7x + w

2(2, 0, -1, 3) – (5, 4, 7, -1, 3) + x = 7x + (6, 2, 0, 9)

(4, 0, -2, 6) – (5, 4, 7,-1) = 6x + (6, 2, 0, 9)

(-1, -4, -9, 7) – (6, 2, 0, 9) = 6x

(-7, -6, -9, -2) = 6x

Contoh 3.4 :

Carilah hasil kali dalam Euclidis u.v bila : a). u = ( 3, 7, 1) ; v = ( -1, 0, 2)

b). u = (1, -1, 2, 3) ; v = ( 3, 3, -6, 0)

J a w a b :

a). u.v = (3, 7, 1).(-1, 0, 2)

= (3.-1 + 7.0 + 1.2)

= -3 + 0 + 2

= -1

b). u.v = (1, -1, 2, 3)(3, 3, -6, 4)

= (1.3 + (-1).3 + 2.-6 + 3.4)

= 3 – 3 – 12 + 12

= 0

Contoh 3.6 :

Carilah dua vector pada R² dengan norma Euclidis 1 yang hasil kali dalam Euclidisnya

(-2,4) sama dengan 0 (nol).

J a w a b :

Misal : u = (u₁, u₂) , v = (v₁, v₂) dan w = (-2, 4) , maka

Dari, u.w = 0

(u₁, u₂) . (-2, 4) = 0

-2u₁ + 4u₂ = 0 ……………(3)

Dari, v.w = 0

(v₁, v₂) . (-2,4) = 0

(-2v₁ + 4v₂) = 0 …………….(4)

Dari persamaan (3) : -2u₁ + 4u₂ = 0 à u₂ = 2/4 u₁ atau u₁ = 2u₂ ………….(5)

Dari persamaan (4) : -2v₁ + 4v₂ = 0 à v₂ = 2/4 v₁ atau v₁ = 2v₂ …………(6)

Jika persamaan (5) masuk ke persamaan (1) :

Karena u₁ = v₁ dan u₂ = v₂