BASIS DIMENSI,BASIS RUANG BARIS,DAN BASIS RUANG KOLOM

-
BASIS DAN DIMENSI


Definisi 3.11 :

Himpunan berhingga vector-vektor s = {v1, v2, …………….., vn} diruang vector v disebut basis. Jika : 1. s bebas linier

2. s merentang v

Contoh 3.14 :

Buktikan s = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}merupakan basis R3.


B u k t i :

1). S bebas linier
k1a + k2b + k3c = 0

dipenuhi hanya jika k1 = k2 = k3 = 0 sehingga s = {a, b, c}bebas linier.


2). S merentang v : x = k1i + k2j + k3k atau
Jadi k1 = x1; k2 = x2 dan k3 = x3 sehingga x = (x1, x2, x3) = x1i + x2j + x3k

Ini berarti v merentang R3 sehingga S = {I, j, k} basis R3


Secara umum :

Jika S = {l1, l2, l3, ……………...,ln}

dengan l1 = {1, 0, 0, …………,0}

l2 = {0, 1, 0, 0, ………,0}

l3 = {0, 0, 1, 0, ………,0}

…………………………

ln = {0, 0, 0, 0, ………,0}

maka S dikatakan basis natural/baku Rn


Contoh 3.15 :

Buktikan S = {S1, S2, S3} dengan S1= (1, 2, 1), S2 = (2, 9, 0) dan S3 = (3, 3, 4) merupakan basis untuk R3.


B u k t i :

Untuk membuktikan S basis R3 akan ditunjukkan :

1. S bebas linier : k1S1 + k2S2 + k3S3 = 0 hanya dipenuhi bila k = 0

2. S merentang R3 : k1S1 + k2S2 + k3S3 = v untuk setiap v elemen R3.

Sehingga bentuk perkalian matriknya :

1. A.k = 0
2. A.k = v, dimana A =

Untuk mencari k maka dicari dahulu apakah A mempunyai invers dan untuk mengetahui apakah ada invers A dicari dahulu determinannya. Ternyata :

Det (A) = ( 1.9.4 + 2.3.1 + 2.3.0) – (1.9.3 + 0.3.1 + 4.2.2) = -1 (tdk sama dengan 0)
Jadi A mempunyai invers yaitu :

Sehingga :

1. A.k = 0 → k = A-1. 0 = 0 Jadi S bebas linier

2. A.k = v → k = A-1. v , untuk setiap v elemen R3, Jadi S merentang R3.

Kesimpulan dari 1 dan 2 : S basis R3.


Definisi 3.13:

1. Ruang vector tak nol √ dinamakan berdimensi berhingga jika ruang vector tersebut mempunyai sebuah himpunan berhingga {v1, v2, v3, ……..,vn} yang membentuk basis √.

2. Jika tidak ada himpunan berhingga yang membentuk basis √ maka ruang vector √ tersebut dinamakan berdimensi tak berhingga.


Teorema 3.6 :

1. Jika S = {S1, S2, S3, ………..,Sn} adalah basis ruang vector √ maka himpunan vector-vektor S = {S1, S2, S3, …………,Sn} adalah bergantung linier.

2. Sembarang dua basis untuk ruang vector yang dimensinya berhingga mempunyai dua vector yang sama.


Definisi 3.14 :

Dimensi Ruang vector √ adalah banyaknya vector-vektor pada basis ruang vector √ tersebut.


Contoh 3.16 :

Tentukan basis dan dimensi untuk ruang penyelesaian sistem persamaan linier berikut :

1). x – 3y + z = 0 2). x + y – z =0

2x – 6y + 2z = 0 -2x – y +2z = 0

3x – 9y + 3z = 0 -x + z = 0




J a w a b :

1).

x – 3y + z = 0


x = 3y + z
Misal : y = t, z = s, maka x = 3t –s, sehingga 






1.
 Basis
Jika V ruang
vektor 
 dengan A = {v1, v2, v3, …. ,vn} A dapat disebut
basis
,tetapi syaratnya adalah :
•
 A itu terasuk
bebas
linear 
•
 A itu ebangun V!k, kita sekarang latihan
bebas
linear 
 dulu yak" #$#
Bebas
 = tidak berkelipatan, atau tidak ada
vektor 
 % &'nt'h sederhana : A={1, %, 3} ( = {), *, +} 
bebas
linea
1.
 Basis
Jika V ruang
vektor 
 dengan A = {v1, v2, v3, …. ,vn} A dapat disebut
basis
,tetapi syaratnya adalah :
•
 A itu terasuk
bebas
linear 
•
 A itu ebangun V!k, kita sekarang latihan
bebas
linear 
 dulu yak" #$#
Bebas
 = tidak berkelipatan, atau tidak ada
vektor 
 % &'nt'h sederhana : A={1, %, 3} ( = {), *, +} 
bebas
linea
1.
 Basis
Jika V ruang
vektor 
 dengan A = {v1, v2, v3, …. ,vn} A dapat disebut
basis
,tetapi syaratnya adalah :
•
 A itu terasuk
bebas
linear 
•
 A itu ebangun V!k, kita sekarang latihan
bebas
linear 
 dulu yak" #$#
Bebas
 = tidak berkelipatan, atau ti

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

BASIS RUANG DENGAN BARIS, BASIS RUANG DENGAN KOLOM, RANK, NULITAS

-
Gambar
DIMENSI  Definisi: Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga { v 1, v 2,… v n} yang membentuk suatu basis. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga TEOREMA: jika V adalah adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan { v 1, v 2,… v n} adalah sembarang basis, maka: Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V. TEOREMA:   Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama   Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol. Contoh Menentukan basis dan dimensi ruang solusi dari SPL homogen penyelesaian Kita dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk sebagai beri
Baca selengkapnya

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

-
Gambar
Fungsi dan Grafik Fungsi     a. Pengertian Fungsi               Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil (Range).       Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya: - Domain   yaitu daerah asal fungsi  f  dilambangkan dengan  D f. - Kodomain   yaitu daerah kawan fungsi  f  dilambangkan dengan  K f. - Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain.Range fungsi dilambangkan dengan R f. PENYAJIAN FUNGSI  Ada beberapa cara penyajian suatu fungsi yaitu :  a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata.  b. Secara numerik : dengan tabel   c. Secara visual : dengan grafik   d. Secara aljabar : dengan aturan/rumusan eksplisit      A
Baca selengkapnya

INVERS MATRIKS DENGAN METODE ADJOIN DAN TRANSFORMASI BARIS ELEMENETER

-
Gambar
INVERS MATRIKS: Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku   maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis  . Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini. Jika   dengan  , maka invers dari matriks A (ditulis  ) adalah sebagai berikut: Jika   maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular. Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers: Contoh:  Diketahui A =   dan B =  Selidiki, apakah A dan B saling invers? Penyelesaian : Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I. A × B =  B × A =  Karena A × B = B × A maka A dan B saling invers, dengan  A –1  = B dan  B –1  = A. Menentukan Invers Matriks Berordo 2 × 2 Misalkan diketahui matriks A =   , dengan ad – bc  ≠  0
Baca selengkapnya