Aljabar dan linear

DIMENSI  Definisi: Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga { v 1, v 2,… v n} yang membentuk suatu basis. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga TEOREMA: jika V adalah adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan { v 1, v 2,… v n} adalah sembarang basis, maka: Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V. TEOREMA:   Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama   Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol. Contoh Menentukan basis dan dimensi ruang solusi dari SPL homogen penyelesaian Kita dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk sebagai beri

Jika F: V → W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan  transformasi  linier  jika: F( u + v ) = F( u ) + F( v ) untuk semua vektor  u  dan  v  di V F(k u ) = k F( u ) untuk semua vektor  u  di dalam V dan semua skalar k contoh : Suatu transformasi T:  → R didefinisikan sebagai untuk setiap   tentukan apakah T merupakan transformasi linear. Jawab Misalkan u,v ∈  dan k skalar. karena u ∈  maka  , karena v ∈  maka  Sedangkan Sehingga dapat disimpulkan bahwa T merupakan transformasi linear KERNEL DAN JANGKAUAN Jika T: V→W adalah transformasi linier, maka himpunan vektor di V yang dipetakan ke 0, dinamakan dengan kernel(atau ruang nol)dari T. Himpunan tersebut dinyatakan oleh ker(T).Hipunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T). contoh Tentukan Ker(T) dan R(T) dari sebuah transformasi

BASIS DAN DIMENSI Definisi 3.11 : Himpunan berhingga vector-vektor s = {v 1 , v 2 , …………….., v n } diruang vector v disebut basis. Jika : 1. s bebas linier 2. s merentang v Contoh 3.14 : Buktikan s = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}merupakan basis R 3 . B u k t i : 1). S bebas linier k 1 a + k 2 b + k 3 c = 0 dipenuhi hanya jika k 1 = k 2 = k 3 = 0 sehingga s = {a, b, c}bebas linier. 2). S merentang v : x = k 1 i + k 2 j + k 3 k atau Jadi k 1 = x 1 ; k 2 = x 2 dan k 3 = x 3 sehingga x = (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 i + x 2 j + x 3 k Ini berarti v merentang R 3 sehingga S = {I, j, k} basis R 3 Secara umum : Jika S = {l 1 , l 2 , l 3 , ……………...,l n } dengan l 1 = {1, 0, 0, …………,0} l 2 = {0, 1, 0, 0, ………,0} l 3 = {0, 0, 1, 0, ………,0} ………………………… l n = {0, 0, 0, 0, ………,0