JENIS - JENIS MATRIKS,OPERASI ALJABAR MATRIKS,DETERMINAN DENGAN METODE DAN LAPLACE

A.MATRIKS

Matriks adalah susunan sekelompok

bilangan dalam suatu jajaran berbentuk persegi panjang yang diatur berdasarkan baris dan kolom dan diletakkan antara dua tanda kurung. Tanda kurung yang digunakan untuk mengapit susunan anggota matriks tersebut dapat berupa tanda kurung biasa atau tanda kurung siku. Setiap bilangan pada matriks disebut elemen (unsur) matriks. Kumpulan elemen yang tersusun secara horizontal disebut baris, sedangkan kumpulan elemen yang tersusun secara vertikal disebut kolom. Suatu matriks yang memiliki m baris dan nkolom disebut matriks m x n dan disebut sebagai matriks yang memiliki orde m x n. Penulisan matriks menggunakan huruf kapital dan tebal. Pembahasan tentang matriks banyak ditemukan dalam ilmu Matematika.

Matriks terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu matriks persegi, matriks kolom, matriks baris, matriks transpose, matriks diagonal, matriks segitiga atas dan bawah, matriks nol, matriks simetri, dan matriks identitas. Berikut ini penjelasan lengkap tentang jenis-jenis matriks tersebut:

✏Matriks Persegi

Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak kolom yang sama. Secara umum, matriks persegi berordo n x n. Contoh matriks persegi:

Contoh Matriks Persegi

✏Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. Secara umum, matriks kolom berordo m x 1. Contoh matriks kolom:

Contoh Matriks Kolom

✏Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris. Secara umum, matriks baris berordo 1 x n. Contoh matriks baris: 

Contoh Matriks Baris

✏Matriks Transpose

Matriks transpose Am x n yang selanjutnya dinotasikan dengan A’ adalah matriks berordo n x m dengan baris-barisnya adalah kolom-kolom matriks Am x n. Contoh matriks transpose, misalkan terdapat matriks A:

maka, transpose matriks A adalah:

✏Matriks Diagonal

Matriks diagonal berasal dari matriks persegi. Matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemen-elemen selain elemen diagonal utamanya adalah nol. Contoh matriks diagonal:

Contoh Matriks Diagonal

✏Matriks Segitiga Atas dan Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah dapat berasal dari matriks persegi. Suatu matriks persegi disebut matriks segitiga atas jika semua elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Sebaliknya, jika semua elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol, maka matriks persegi itu disebut matriks segitiga bawah. Contoh Matriks Segitiga atas dan Matriks Segitiga Bawah:

Matriks A adalah matriks segitiga atas, sedangkan matriks B adalah matriks segitiga bawah.

✏Matriks Simetri

Misalkan terdapat matriks A. Matriks A disebut matriks simetri jika A’ = A atau setiap elemen pada matriks A yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama, yaitu aij = aji dengan i tidak sama dengan j. Contoh matriks simetri, misalkan:

Sehingga A adalah matriks simetri

✏Matriks Nol

Suatu matriks dikatakan matriks nol jika semua elemen dari matriks tersebut adalah nol. Contoh matriks nol:

Contoh matriks nol

✏Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah 1.Matriks identitas biasanya dinotasikan dengan I. Contoh matriks indentitas:

Contoh matriks indentitas

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks atau lebih, dapat dijumlakan hanya jika memiliki ordo yang sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berposisi sama. Contoh:

Jika  dan ,

maka:

Sama halnya dengan penjumlahan, pengurangan dapat dilakukan hanya jika dua matriks atau lebih, memiliki ordo yang sama. Pengurangan dilakukan terhadap elemen-elemen yang berposisi sama.

Contoh:

Jika  dan ,

maka:

Sifat dari penjumlahan dan pengurangan matriks:

• A + B = B + A
• (A + B) + C = A + (B + C)
• A – B ≠ B – A

Perkalian Matriks

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah bilangan bulat atau dengan matriks lain. Kedua perkalian tersebut memiliki syarat-syarat masing-masing.

Perkalian Matriks dengan bilangan bulat

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan bulat, maka hasil perkalian tersebut berupa matriks dengan elemen-elemennya yang merupakan hasil kali antara bilangan dan elemen-elemen matriks tersebut. Jika matriks A dikali dengan bilangan r, maka . Contoh:

Jika  dan bilangan r = 2, maka:

Perkalian matriks dengan bilangan bulat dikombinasikan dengan penjumlahan atau pengurangan matriks dapat dilakukan pada matriks dengan ordo sama. Berikut sifat-sifat perkaliannya:

• r(A + B) = rA + rB
• r(A – B) = rA – rB

Perkalian dua matriks

Perkalian antara dua matriks yaitu matriks A dan B, dapat dilakukan jika jumlah kolom A sama dengan jumlah baris B. Perkalian tersebut menghasilkan suatu matriks dengan jumlah baris sama dengan matriks A dan jumlah saman dengan matriks B, sehingga:

Elemen-elemen matriks  merupakan penjumlahan dari hasil kali elemen-elemen baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matiks B. Berikut skemanya:

Misalkan matriks A memiliki ordo (3 x 4) dan matriks B memiliki ordo (4 x 2), maka matriks C memiliki ordo (3 x 2). Elemen C pada baris ke-2 dan kolom ke-2 atau a₂₂ diperoleh dari jumlah hasil perkalian elemen-elemen baris ke-2 matriks A dan kolom ke 2 matriks B. Contoh:  dan 

maka:

Perlu diingat sifat dari perkalian dua matriks bahwa:

A x B ≠ B x A

Sebagai pembuktian, diketahui  dan  maka:

Terbukti bahwa A x B ≠ B x A. Ada sifat-sifat lain dari perkalian matriks dengan bilangan atau dengan matriks lain, sebagai berikut:

• k(AB) = (kA)B
• ABC = (AB)C = A(BC)
• A(B + C) = AB + AC
• (A + B)C = AC + BC

Determinan Matriks

Determinan dari suatu matriks A diberi notasi tanda kurung, sehingga penulisannya adalah |A|. Determinan hanya bisa dilakukan pada matriks persegi.

Determinan matriks ordo 2×2

Jika  maka determinan A adalah:

Determinan matriks ordo 3×3 (aturan Sarrus)

Jika  maka determinan A adalah:

= aei + bfg + cdg – ceg – afh – bdi

Determinan matriks memiliki sifat-sifat berikut:

1. Determinan A = Determinan A^T

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris/2 kolom yang berdekatan dalam matriks ditukar

3. Jika suatu baris atau kolom sebuah determinan matriks memiliki faktor p, maka p dapat dikeluarkan menjadi pengali.

4. Jika dua baris atau dua kolom merupakan saling berkelipatan, maka nilai determinannya adalah 0.

5. Nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah adalah hasil kali dari elemen-elemen diagonal saja.

Invers Matriks

Suatu matriks A memiliki invers (kebalikan) jika ada matriks B yang dapat membentuk persamaan AB = BA = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari suatu matriks berordo (2 x 2) seperti  dapat dirumuskan sebagai:

Invers matriks memiliki sifat-sifat berikut:

• AA^-1 = A^-1A = I
• (A^-1)^-1 = A
• (AB)^-1 = B^-1A^-1
• Jika AX = B, maka X = A^-1B
• Jika XA = B, maka X = BA^-1

B. Determinan

Dalam bidang aljabar linear, determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila matriksnya berbentuk 2 × 2, rumus untuk mencari determinan adalah:

{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}

Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, rumusnya adalah:

{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}

Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks n × n adalah:

{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\right).}

Metode eliminasi Gauss juga dapat dipakai. Sebagai contoh, determinan matriks berikut:

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}

dapat dihitung dengan menggunakan matriks berikut:

{\displaystyle B={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\2&0&-1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\0&2&-4\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&2&-4\\0&0&4.5\end{bmatrix}}.}

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris kedua, sehingga det(A) = det(B). C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga Dmerupakan hasil dari perkalian diagonal utamanya: (−2) · 2 · 4.5 = −18. Maka dari itu, det(A) = −det(D) = +18.