DIAGONALISASI

-
DIAGONALISASI

Masalah Diagonalisasi. Diberikan sebuah operator linier T : V → V pada sebuah ruang vector berdimensi berhingga, apakah terdapat sebuah basis untuk V terhadap mana matriks T diagonal?
     Jika A adalah matriks untuk T : V→ Vyang bertalian dengan beberapa basis sembarang, maka soal ini ekivalen dengan menanyakan apakah terdapat perubahan basis sehingga matriks baru untuk Tdiagonal. Menurut teorema 8 dalam bagian 5.5, matriks baru untuk T akan sama dengan P-1 AP dimana P adalah matriks transisi yang sesuai. Jadi, kita sampai kepada perumusan matriks berikut yang berbentuk masalah diagonalisasi.
Bentuk matriks dari masalah diagonalisasi. Diketahui matriks kuadrat A, apakah terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P-1 AP diagonal?
Masalah ini menyarankan definisi – definisi berikut.
Definisi.  Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi ( diagonalizable)jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P-1 AP diagonal; matriks Pdikatakan mendiagonalisasi A.
      Teorema berikut adalah alat dasar dalam pengkajian diagonalisasi; buktinya akan mengungkapkan bagaimana mendiagonalkan matriks.
Teorema 2. Jika A adalah matriks n × n, maka pernyataan – pernyataan berikut ekivalen satu sama lain.
(a)    A dapat didiagonalisasi.
(b)   A mempunyai n vector eigen bebas linier
Bukti (a) → (b). karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang dapat di balik
P= 

Sehingga P-1  AP diagonal, katakanlah P-1 AP = D, dimana
D= 
Maka, AP = PD ; yakni
AP =  (6.4)
Jika sekarang kita misalkan p1, p2, . . . , pnmenyatakan vector – vector kolom P, maka bentuk (6.4) kolom – kolom AP yang berurutan adalah λ1P1,λ2P2, . . . , λnPn . akan tetapi, dari contoh 18 bagian 1.4 kolom – kolom AP yang berurutan adalah Ap1, Ap2, . . . ,Apn. jadi, harus kita memperoleh
Ap1 = λ1P1, AP2 =  λ2P2, . . . , Apn = λnPn         (6.5)
Karena P dapat dibalik, maka vector – vector kolomnya semuanya tak nol; jadi menurut (6.5), λ1, λ2, . . . , λn adalah nilai – nilai eigen A, dan p1, p2 , . . . , pn adalah vector – vector eigen yang bersesuaian. Karena P dapat dibalik, maka teorema 15 dalam bagian 6.4 diperoleh bahwa p1, p2 , . . . , pn bebas linier. Jadi, A mempunyai n vector eigen bebas linier.
(b)   → (a) anggaplah bahwa A mempunyai n vector eigen bebas linier, maka p1, p2 , . . . , pn dengan nilai eigen yang bersesuaian λ1, λ2, . . . , λn dan misalkan

P= 

Adalah mastriks yang vector – vector kolomnya adalah p1, p2 , . . . , pn. menurut contoh 17 pada bagian 1.4, kolom – kolom dari hasil kali AP adalah
Ap1, Ap2, . . . , Apn
Tetapi
Ap1 = λ1P1, AP2 =  λ2P2, . . . , Apn = λnPn
Sehingga
AP= =  =PD   (6.6)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

BASIS RUANG DENGAN BARIS, BASIS RUANG DENGAN KOLOM, RANK, NULITAS

-
Gambar
DIMENSI  Definisi: Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga { v 1, v 2,… v n} yang membentuk suatu basis. Jika tak ada himpunan yang seperti itu, maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga TEOREMA: jika V adalah adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan { v 1, v 2,… v n} adalah sembarang basis, maka: Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V. TEOREMA:   Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama   Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(V), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol. Contoh Menentukan basis dan dimensi ruang solusi dari SPL homogen penyelesaian Kita dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk sebagai beri
Baca selengkapnya

LIMIT FUNGSI TAK HINGGA

-
Gambar
 Pengertian limit fungsi tak hingga           Pengertian limit fungsi di tak hingga adalah sebagai berikut :  a.  Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk x yang terus membesar menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit L untuk x mendekati ∞ dan ditulis L xf  )(lim x = ∞→  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan L).   b.  Jika nilai suatu fungsi f terus membesar untuk x  menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→  )(lim x xf  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞).   c.  Jika nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk x  menuju ∞ maka kita katakan bahwa f mempunyai limit ∞ − untuk x mendekati ∞ dan ditulis ∞= ∞→ -  )(lim x xf  (dibaca  limit f untuk x mendekati ∞ sama dengan ∞ − ). Rumus Cepat menyelesaikan limit tak terhingga Rumus cepat mengerjakan limit tak terhingga yang pertama dapat digunakan untuk bentuk soal limit tak terhingga pada bentuk pecahan. Untuk memperoleh nila
Baca selengkapnya

KONTINUITAS

-
Gambar
kontinuitas       Kontinuitas adalah kesinambungan. Lawan dari kontinuitas adalah diskontinuitas yaitu tidak kesinambungan. Kontinuitas suatu fungsi kurang lebih sama artinya dengan kesinambungan suatu fungsi. f ( x ) f ( x ) kontinu di x = a x = a jika lim x → a + f ( x ) = lim x → a − f ( x ) = f ( a ) lim x → a + f ( x ) = lim x → a - f x = f ( a ) Keterangan : x → a + x → a + artinya x x mendekati a a dari kanan x → a − x → a - artinya x x mendekati a a dari kiri Tidak kontinu sama artinya dengan diskontinu Syarat kontinuitas suatu fungsi       fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila : Note :  a -  a + ,tanda + dan - hanya menunjukkan arah        contoh soal : 
Baca selengkapnya